Add Projects
This commit is contained in:
T
@@ -3,7 +3,13 @@ layout: post
|
||||
title: Der Analoge Lorenz-Attraktor
|
||||
---
|
||||
|
||||
|
||||
<style>
|
||||
.math {
|
||||
font-family: "Libertinus Math";
|
||||
}
|
||||
</style>
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
## Einführung
|
||||
|
||||
@@ -11,7 +17,7 @@ Der Meteorologe Edward Lorenz hat 1963 am MIT aus einem Wettermodell
|
||||
ein System aus nichtlinearen Differentialgleichungen entwickelt.
|
||||
Das war das erste einfache System, das chaotisches Verhalten gezeigt hat,
|
||||
das heißt beliebig kleine Änderungen des Anfangszustandes führen
|
||||
zu großen Änderungen im Verhalten, so dass das Verhalten dann
|
||||
zu großen Änderungen im Verhalten, sodass das Verhalten dann
|
||||
ab einem bestimmten Punkt nicht mehr vorhergesagt werden kann.
|
||||
|
||||
Der Zustand des Systems besteht aus drei Variablen x, y und z,
|
||||
@@ -21,11 +27,14 @@ mit einer bestimmten Geschwindigkeit in eine bestimmte Richtung.
|
||||
|
||||
Mathematisch schreibt man das als drei Differentialgleichungen
|
||||
|
||||
dx/dt = s⋅(y-x)
|
||||
<span class=math>
|
||||
dx/dt = s ⋅ (y -- x)
|
||||
|
||||
dy/dt = r⋅x-y-x⋅z
|
||||
<span class=math>
|
||||
dy/dt = r ⋅ x -- y -- x ⋅ z
|
||||
|
||||
dz/dt = x⋅y - b⋅z
|
||||
<span class=math>
|
||||
dz/dt = x ⋅ y -- b ⋅ z
|
||||
|
||||
mit Parametern s=10, r=28 und b=8/3.
|
||||
dx/dt ist die Geschwindigkeit in x-Richtung, dy/dt und dz/dt entsprechend
|
||||
@@ -41,7 +50,7 @@ ob es nach rechts oder nach links geht.
|
||||
Außerdem werden kleine Unterschiede bei jedem Umlauf größer.
|
||||
<p>
|
||||
<video width="100%" controls>
|
||||
<source src="{{site.url}}/media/projects/analog-lorenz/LorenzAttractor_720p30_diverge_2.mp4" type="video/mp4">
|
||||
<source src="/media/projects/analog-lorenz/LorenzAttractor_720p30_diverge_2.mp4" type="video/mp4">
|
||||
Ein mit Manim erzeugtes Video, dass den Lorenz-Attraktor von einer
|
||||
sich um den Attrakor herum drehenden Kamera aus zeigt.
|
||||
</video>
|
||||
@@ -56,11 +65,11 @@ mit [diesem Quellcode](https://git.chaospott.de/starblue/manim-lorenz).
|
||||
je nachdem in welcher Folge der Zustand vorher rechts- oder linksherum
|
||||
gelaufen ist.
|
||||
Deshalb hat der Attraktor eine etwas höhere fraktale Dimension
|
||||
(ca 2,05), je nach Parametern und verwendeter Definition von Dimension.
|
||||
(ca. 2,05), je nach Parametern und verwendeter Definition von Dimension.
|
||||
|
||||
## Die Schaltung
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
Die Schaltung wurde frei nach [dieser Schaltung](http://seti.harvard.edu/unusual_stuff/misc/lorenz.htm)
|
||||
von Paul Horowitz gebaut.
|
||||
@@ -73,10 +82,10 @@ Dabei werden die reinen Zahlen in physikalische Größen übersetzt:
|
||||
wobei der Ausgang für y negiert ist.
|
||||
- Die Parameter im Lorenz-System werden durch Widerstände realisiert.
|
||||
Wenn man jeweils den Kehrwert des Widerstands, d.h. den Leitwert, betrachtet,
|
||||
entspricht 1 einem Mikro-Siemens (1µS = 1/1MΩ).
|
||||
- 100kΩ entspricht 10µS für den Parameter s.
|
||||
- 35,7kΩ entspricht 28µS für r.
|
||||
- 374kΩ entspricht 2.68μS ~ 8/3μS für b.
|
||||
entspricht 1 einem Mikro-Siemens (<span class=math>1µS = 1/1MΩ<span>).
|
||||
- <span class=math>100kΩ<span> entspricht <span class=math>10µS<span> für den Parameter s.
|
||||
- <span class=math>35,7kΩ<span> entspricht <span class=math>28µS<span> für r.
|
||||
- <span class=math>374kΩ<span> entspricht <span class=math>2.68μS ~ 8/3μS<span> für b.
|
||||
- Am negativen Eingang der Operationsverstärker werden
|
||||
die durch die Widerstände skalierten Ströme addiert
|
||||
und die Summe dann im Kondensator integriert.
|
||||
@@ -85,12 +94,12 @@ Aus Verfügbarkeitsgründen haben wir einige Bauteile durch andere ersetzt,
|
||||
die aber die gleiche Funktion haben:
|
||||
- Für die Analog-Multiplizierer verwenden wir zwei AD633N im DIP-8 Gehäuse,
|
||||
- für die Operationsverstärker einen 4-fach OpAmp TL084 im DIP-14 Gehäuse, und
|
||||
- für die krummen Widerstandswerte 35,7kΩ und 374kΩ Reihenschaltungen
|
||||
- für die krummen Widerstandswerte <span class=math>35,7kΩ<span> und <span class=math>374kΩ<span> Reihenschaltungen
|
||||
von jeweils einem Festwiderstand und einem Potentiometer.
|
||||
|
||||
Bei den Kondensatoren sind jeweils vier Werte 100pF, 1nF, 10nF und
|
||||
100nF verbaut, die mit einem Drehschalter mit 3 Polen und 4 Stellungen
|
||||
parallel umgeschaltet werden können. Dadurch kann die Geschwindigkeit
|
||||
parallel umgeschaltet werden können. Dadurch kann die Geschwindigkeit
|
||||
pro Schritt um einen Faktor von 10 geändert werden, und insgesamt
|
||||
liegt dadurch ein Faktor von 1000 zwischen der langsamsten und der
|
||||
schnellsten Einstellung[^caps].
|
||||
@@ -107,7 +116,7 @@ Die Betriebsspannung ist 30V.
|
||||
Intern wird das als ±15V betrachtet, mit einer virtuellen Masse für 0V.
|
||||
Der eigentliche analoge Arbeitsbereich ist ±10V.
|
||||
|
||||
In der Schaltungen sind die Drähte für x rot, für y grün und für z blau[^colors].
|
||||
In der Schaltung sind die Drähte für x rot, für y grün und für z blau[^colors].
|
||||
Der vierte Operationsverstärker wird für die virtuelle Masse verwendet,
|
||||
das ist der mittige Draht zwischen den ICs auf der Unterseite.
|
||||
|
||||
@@ -115,7 +124,7 @@ das ist der mittige Draht zwischen den ICs auf der Unterseite.
|
||||
Rot und blau werden auch für die positive und negative
|
||||
Versorgungsspannung verwendet.
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
Als Anzeige verwenden wir ein Tektronix 2213 Analog-Oszilloskop im XY-Modus.
|
||||
Am X-Eingang (Kanal 1) des Oszilloskops wird der x-Wert des Lorenz-Systems angeschlossen,
|
||||
@@ -127,4 +136,4 @@ Kanal 1 (x) steht auf 0,5V pro Teilung, Kanal 2 (z) auf 1V pro Teilung
|
||||
Weil die z-Werte positiv sind, muss die vertikale Position entsprechend
|
||||
angepasst werden.
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
Reference in New Issue
Block a user